シュレディンガー方程式
波 動 関 数 ハミルトニアン演算子


波の数式
























波は空間的(
の関数)に広がり、かつ時間的(の関数)に振動しています。



オイラーの公式

オイラーの公式



微分することで
sincoscossinに変化しますが、微分しても形が変わらない関数が「指数関数」です。
オイラーの公式を利用することで、微分が簡単になります(数学のトリック)。


オイラーの公式の xax を代入

両辺にをかけ

abは実数、コサイン、サインで振動する波


波の関数表現




波の式、Aは振幅



複素共役をかけ、波の絶対値の2乗を求める


波の絶対値の2乗

波の振幅の2乗は、の正負により振幅の減衰や増大を表します




エネルギーの保存則






 運動量の保存則







波動関数

X軸上で振動したり減衰する波
 

時間軸上の振動
 

波動関数を空間 に関して偏微分

変数は
だから、 を定数とみなして のみで偏微分


両辺に をかけた後、で整理




運動量演算子

波動関数
演算子 = 運動量 x 波動関数









 








全エネルギーE = ポテンシャルエネルギー(位置エネルギー)V + 運動エネルギーT

E = V + T





を代入








ハミルトニアン演算子 H





時間に依存しないシュレディンガー方程式


φとする


運動エネルギー + ポテンシャルエネルギー = 全エネルギー






波動関数を時間 に関して偏微分






(T+V=E)



時間に依存するシュレディンガー方程式(一般的


運動量やエネルギーの数値







(波動関数の振幅の2乗)



存在確率



波動関数の規格化条件



運動量演算子を複素共役の波動関数ではさみ積分をとると、運動量Pを求められる(期待値)


エネルギーの期待値を求める場合も同様でハミルトニアンを複素共役の波動関数ではさみ積分













SYNCHRONATURE