人 類 の 至 宝・ オ イ ラ ー の 公 式
虚 数・複 素 数 の 世 界

ERJAS
シュレディンガー

FOURIER
フーリエ

RAMANUJAN
ラマヌジャン
オイラーの公式

自然界は波や振動であふれています。

電気、電波そして物質を構成する電子や素粒子等々、全て波の性質を持っているのです。

自然界は、波や振動が支配していると言っても過言ではありません。

波や振動現象を調べるためには、三角関数が必要不可欠です。

オイラーの公式は、
三角関数と指数関数が、虚数・複素数を通じて表裏一体の関係にあることを示しています。

虚数を駆使する
オイラーの公式を使用すれば、波動・振動現象に関して明確な答えを出すことができるのです

オイラーの公式 1740年頃発見

実数の世界では全くの無関係のように思われていた指数関数三角関数が、複素数の世界では親戚どころか兄弟であったことを意味する重要な式であり、ファインマンはこれを「オイラーの宝石」と表現しました。

自然対数の底 e ネイピアの数 e = 2.718281828... を底とする指数関数、

円周率 π、

虚数単位 i, (i 2 = -1)

全くバラバラの分野で扱われ、何の関係性も持ち得ないと思われていた3つの数が、実際には結び付けられるどころか、非常にシンプルな解を導き出すという大変重要な公式です。

数学者たちはこの予想外の調和・連関を「人類の至宝」「人類史に残る不朽の名作」と表現しています。

オイラーの公式は,微分方程式,フーリェ級数論など実解析,そして電気工学や物理学の分野において非常に重要です。


右辺の cos, sin はラジアンを単位とする正弦、余弦関数です。

右辺については,三角関数 cos x と sin x と複素数を既知とすれば, cos x を実部,sin x を虚部とする複素数として定義されます。

指数関数,正弦関数,余弦関数のベキ級数展開(マクローリン展開)


テイラー展開


指数関数のベキ級数展開において,xix で置き換えて, i 2 = -1 を用いて実数部分と虚数部分に分けると,


虚数ベキ

オイラーの公式 eix = cos x + i sin x が証明されました.

関西学院大学理工学部数理科学科 示野信一教授サイトより



スイス生まれの大数学者レオンハルト・オイラー
(Leonhard Euler, 11707415日 - 1783918は、ドイツとロシア(現在のソビエト連邦)の2つの学士院で活躍した人です。

数学、天文学、物理学、植物学、化学等その業績は、多方面にわたっています。

数学一家として有名なベルヌーイ
(Bemoulli)家の人たちと同じ、スイスのバーゼルに生まれました。

バーゼル大学に進んで、神学を勉強しましたが、ベルヌーイ家の人々と知り合ったため、数学を勉強するようになった、といわれています。

ロシアのペテルスブルグ学士院において、26歳の若さで数学部の重要な地位につきました。

1740年に、プロイセンのフリードリッヒ大王の招きによって、ベルリン科学アカデミーの数学部長になり、そこで20年以上も研究をしていました。

ロシアのエカテリーナ女帝に招かれて、
1766年からペテルスブルグで研究を続けました。

1735年、病気のため右の目が見えなくなっていましたが、この時は左の目も見えなくなってしまったのです。

しかし、その後も数学から離れることなく、
1783年に77歳ロシアのサンクトペテルブルクでこの世を去るまで、数学の研究を続けたそうです。

彼は「解析学の権化」といわれたように、解析幾何学や微積分学の発展につくし、代数学、幾何学、整数論などにも大きな業績を残しました。

特に、数の記号
sinθ, cosθ, tanθなどを考え出したり、微分学の一種である変分学をはじめてつくり出したりしました。

オイラーは、
7橋問題の不能なことを証明した人としても有名です。

200年前のことですが、ドイツのケーニヒスベルグ町のプレーゲル川の中に島がありました。

この島に
7つの橋がかかっていたのですが「同じ橋を2度渡らないで、全部の橋を渡ることができるか」というのが7橋問題です。


「e」の最大の特徴

「e」を底とする指数関数は,それ自身の導関数と等しくなります。


自然対数の底「e」のことを「ネイピアの数」といいます。

自然対数の底「e」は、数学者オイラーが対数関数
の導関数を求める過程で発見しました。




e=2.7182818284590452353602874・・・・・

eの図形的意味

「超」入門微分積分より)


ド・モアブルの定理

複素数の偏角表現


偏角の極形式表現




三角関数を使うとかけ算が意味を持ってくるのです。

 z1×z2=r(cosα+sinα)×s(cosβ+sinβ)

     =rs((cosα・cosβ−sinα・sinβ)+(cosα・sinβ+sinα・cosβ))

加法定理を使います。


三角関数の加法定理



かけ算は角度のたし算になります。


極形式を使えば積は簡単に表現できます。三角関数の加法定理より





複素数の2乗をすると、絶対値が2乗、偏角が2倍に、
3乗なら、3乗と3倍になります。




これをド・モアブルの定理といいます。

「絶対値は掛け算に、偏角は足し算に」なります。

綺麗な法則です。


フランスの数学者アブラーム・ド・モアブル(AbrahamdeMoivre, 1667〜1754)は、シャンパンで有名なシャンパーニュに生まれました。

宗教上のことで,フランスを追われ、
20歳の頃、ロンドンに移住して数学の教授をしました。

1711年に「幸運の測定について」という本を出版してから、確率論の著書を多く発表しています。

確率論の標準曲線の研究や、世界中の生命保険会杜で使われている余命表(生命表)、死亡率などの研究で、多くの業績を残しました。

日本でも年金の掛金の計算や、生命険料の算出に欠かせないものとして使用されています。

数学者は若い時に重要な定理を発見する場合が多いのですが、ド・モアブルがこの定理を発見した時は、数学者としてはきわめて遅い
67歳の時でした。





オイラーの公式は、複素平面に於ける半径1の円(単位円)の方程式が、なんと、「自然対数の底e」と角度を虚数の指数とした式で表せるというシンプルなものです。

この式は、指数を複素数に拡張したもので、指数演算で複素記号を正負符号と同様に扱い、微分・積分の公式に適用できることが証明されています。

複素数、自然対数の底、複素指数関数、複素空間の円の方程式、三角関数、これらが一つに融合されたこの公式で、三角関数の加法定理、振動、波動、微分が、如何に単純になり、理解が容易になることでしょう。

単振動、正弦波の本質、波とは何なのか?

ということの理解を助けてくれるのです。

この式の美しさは、哲学的な美しさ、数学そのものの美しさです。


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複素数論 中村 八束
(信州大学教授)著 (http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/index-j.html) 

二乗して−1になる数は? 昔、このような数は存在しないと思われていたのですが、人類は虚数、即ち複素数を発明しました(虚数単位i)。

虚数はまさに虚なる数ですが、実在すると考えると数学は完全性を獲得します。

例えば解に虚数も許すと、n次の方程式はいつでも解をもつことがいえます。

数学の多くの分野は複素数の存在を前提として成り立っています(行列論、微分方程式論、調和解析学、関数解析学、等々)。

また工学や物理学でも複素数は重要な地位を占めます。

例えば電気工学や電子工学では、電気の波を複素数で表現します(その分野では虚数単位をiの代わりにjで表す)。

更にもっと一般な波動の概念は光学、量子力学、機械工学、信号理論など様々な分野に現われますが、それらも複素数を用いて表現されます。

情報工学の分野でも画像の圧縮方法の理論や音声認識のためのスペクトル理論の中にも複素数が頻繁に登場します。


複素数の不思議 (オイラーの公式 東北工業大学 情報通信工学科 中川研究室サイトより)

1 虚数も数   i2=−1     ( √(-1)×√(-1)≠√(-1)×(-1) )

2 複素数の足し算 力の合成・平行四辺形 (ガウス平面)

 z1+z2=(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d)  

縦軸を虚数に、横軸を実数、足し算は力の合成の平行四辺形になります。

3 複素数のかけ算

 z1×z2=(a+b)×(c+d)=(ac−bd)+(ad+cb)

1 をかけてみます。

 z1×=(a+b=−b+a

90度回転しています。

i をかけると回転し、実数をかけると拡大します。

回転しているものは、角度で表せます。

角度を使って複素数を表すには三角関数を使うのです。

4 複素数の偏角表現   a+b i=r(cosα+i sinα)

三角関数を使うとかけ算が意味を持ってきます。

偏角を使うことでわかりやすくなります。

 z1×z2=r(cosα+sinα)×s(cosβ+sinβ)

     =rs((cosα・cosβ−sinα・sinβ)+ (cosα・sinβ+sinα・cosβ))

加法定理を使うことで簡単になります。


5 三角関数

図を見ただけで次の加法定理が理解できます。

cos(α+β)=cosα・cosβ−sinα・sinβ

sin(α+β)=cosα・sinβ+sinα・cosβ

前のかけ算は角度のたし算になります。


6 ド・モアブルの定理

 r(cosα+sinα)×s(cosβ+sinβ)=rs(cos(α+β)+sin(α+β))

実にシンプルになりました。

計算を簡単にするために、r=s=1とします。

さらに、β=αとすると、累乗の公式が見つかります。

 (cosα+sinα)2=(cosα+sinα)×(cosα+sinα)=cos(2α)+sin(2α)

同様に

 (cosα+sinα)3=cos(3α)+sin(3α)

ということは、

 (cosα±sinα)n=cos(nα)±sin(nα)

これを
ド・モアブルの定理といいます。

7 オイラーの方法

オイラーは、このド・モアブルの定理、

 cos(nα)+sin(nα)=(cosα+sinα)n

 cos(nα)−sin(nα)=(cosα−sinα)n

から両式を加えて、

  cos(nα)=((cosα+sinα)n+(cosα−sinα)n)/2

 sin(nα)=((cosα+sinα)n−(cosα−sinα)n)/2

を導きます。

オイラーはこの式と自然対数の定義を結びつけるのです。

オイラーのマジックは、極限を用いることです。

nα=χ(χは一定数)とします。

そうしてnを無限大にするのです。

当然αは無限に小さくなります。

すると、三角関数の性質から、

 lim[n→∞]cos(χ/n)=1   lim[n→∞]sin(χ/n)=χ/n

これを使うと先ほどの式は、

 cos(χ)=((cos(χ/n)+sin(χ/n))n+(cos(χ/n)−sin(χ/n))n)/2

     =((1+iχ/n)n+(1−iχ/n)n)/2   ・・・(1)

 i sinχ=((1+iχ/n)n−(1−iχ/n)n)/2   ・・・(2)


8  自然対数の虚数乗

 (1+iχ/n)n は自然対数の定義と似ています。 

が入っているところが違います。

発散すれば意味がありません。

ためしにχ=1として、n=2、4を計算すれば実部と虚部に分かれます。

 (1+i/2)2=0.75+

 (1+i/4)4=0.62890625+0.9375

二項定理を利用すれば、計算が簡単になります。

  は後からχへ代入すれば良いのです。

 (1+χ)n=?[k=0→n]n!/((n-k)!k!)・χk     (4!=4・3・2・1) 

だから、n=8、χ=iχ/8とすると、

 (1+iχ/8)8=?[k=0→8]8!/((8-k)!k!)・(iχ)k

χ=1を代入すると、

 (1+iχ/8)8=0.579483092+0.89233017

という値になります。nをどんどん大きくしていくと、

n= 2   4      6       8      10      12
a=0.75  0.62890625  0.594885974  0.579483092  0.57079045  0.565229899
b= 1  0.9375    0.908179012  0.89233017   0.88250801  0.875845995

どうやら、一定の値になりそうです。

そうすると、lim[n→∞](1+iχ/n)nが定義できそうです。

 lim[n→∞](1+χ/n)n=eχ だから   

 lim[n→∞](1+iχ/n)n=eiχ とします。

さっきの式(1)を置き換えると、

  cos(χ)=((1+iχ/n)n+(1−iχ/n)n)/2=(eiχ+e-iχ)/2

  sin(χ)=((1+iχ/n)n−(1−iχ/n)n)/2=(eiχ−e−iχ)/2

となり、両式を加えると、

iχ=cosχ+i sinχ

これがオイラーの公式です。

lim[n→∞](1+i/n)n=e の「正確な」値は、

 e=cos(1)+ sin(1)=0.540302306+0.841470985

となります。

9  i の i 乗の値は?

 この公式に、χ=πを代入すると、

 eπ=−1   となります。

 eπ=lim[n→170](1+π/n)n=-1.0294485+0.0003690

 さて、ここで i を求めてみましょう。

 eχ=cosχ+sinχ  にχ=π/2を代入すると、

 e(π/2)=cos(π/2)+sin(π/2)=

 両辺を 乗すると、

 e(π/2)=e(−π/2)=0.2078795763…=i

 結局、無限級数を使えば、 乗も定義できるのです。

さらに三角関数にも を代入できます。

 eχ=cosχ+sinχ  にχ= を代入します。

 ei×i=e-1=1/e=cos sin

 sinχとcosχをテーラー展開、または二項定理による展開をすると、

 cosχ=1−χ2/2+χ4/4!−χ6/6!+・・・

 sinχ=χ−χ3/3!+χ5/5!−χ7/7!+・・・

χ= を代入すると、

 cos sin =(1+1/2+1/4!+1/6!…)−(1+1/3!+1/5!+1/7!…)=0.367857143≒1/e=0.367879441

10  指数表現

複素数が指数で表現できます。

指数ですから、eα×eβ=e(α+β) と簡単に計算できます。

ガウス平面で見るといかにも当然というような感じがします。

しかも、eχは微分しても変わりませんから、微分や積分が簡単にできるということが便利です。

ここから複素数の関数の世界が広がってきます。





加法定理: 最も重要な公式で、他の公式はすべてこれから導けます




出所:FNの高校物理、数学、「三角関数の公式(図解理解)」



一般に積分の計算は難しくて手間がかかりますが、複素関数をうまく使うと定積分の計算がとても簡単になります。


J K は別々に求めようとしてもうまくいきません。しかし、2つ合わせて同時に考えればうまくいくのです。
J K の違いはコサインとサインの違いだけ、オイラーの公式を利用して組み合わせれば指数関数が作れます。


X の実数を複素数まで拡大します。複素数らしく を使用します。
 

分母を因数分解しておくと極が一目でわかります。極には留数がついています。

それぞれの極に、それぞれの留数があります。
極は2次方程式の解だからが極になります。

と置くとと因数分解されます。


z=α における留数は (z−α)f(z)  z=α を代入して得られる値です。

代入するだけですから簡単です。

積分の難しさに比べて留数は著しく易しいのです。

留数 
R は
 

コーシーの留数定理によれば、は留数 R 2πi 倍に等しい。


積分というとても難しいはずの計算が
z=α を代入するだけという易しい計算に置き換えられることになります。


実部・虚部を取り、
J Kの 積分計算結果です。

計算結果に e が入ってくるのは、オイラーの公式を知らない人には理解することが困難です。


関数とはなんだろう 山根英司著 ブルーバックス刊より








テイラー展開 マクローリン展開
次 近 似(未 来 の 様 相)


次近似(未来の様相

昨日まで健康を誇っていた友人が、突然、交通事故で命を失ったり、心臓発作でこの世を去ったりすることがあります。

大震災の巨大津波で昨日まで元気で生活していた人達が、一瞬でこの世からあの世に旅立ってしまいました。

明日は誰の番かと恐ろしくなります。「一寸先は闇」ということになります。

しかし、普通の場合は突如として明日があるわけではなく、昨日・今日の連続として明日があるのです。

明日がどういう日であるかは、おおよその見当が付けられます。

私達は、非常に多くのことがらについて過去の経験と現在の状態から、未来の様相を予測して生活しています。

過去から現在に至るまでのデータがわかっていれば、未来のことも大体の見当がつきます。

過去の傾向を尊重しながら、未来のほうへ引き伸ばすことができるのです。

非常に近い未来のことならば、大きく外れることなく予測できるでしょう。

厳密にいえば、明日はまったく保証されていないにもかかわらず、多くの人たちは安心して眠ることができるのです。



テイラー
級数(Taylor series)の魔法

現在の状態f
(a)から、f´(a)第1次近似,、f"(a)第2次近似、第3次近似、・・・第n次近似と未来の状態を予測する方法です。


テイラー級数は、aの位置の情報だけで、他の位置の値がいくらでも正確に計算できるのです。

一寸先は闇ではないのです。

現在の状態がわかりさえすれば、明日のことが正確に予測できるということです。

見ることができないコンクリート壁の向こう側が、詳しく観察できる魔法のような方法です。


テイラー(Brook Taylor 1685-1731)が、1715年に「増分法」で初めてテイラー展開を論じました。

その展開式は,
0を展開の中心とするマクローリン展開といわれます。

この展開は、
マクローリン(Colin Maclaurin 1698-1746)が発見したのではありません。

一般的な剰余項の公式(テイラーの定理)を扱ったのはラグランジュ
(J.L.Lagrange 1736-1813)です。

テイラー展開という名をつけたのはオイラー
(L.Euler 1707-1783,「微分法」1755年)です。
                   
「数学100の発見,日本評論社」のテイラー展開(一松信執筆)についての解説より。

 


マクローリン級数(Maclaurin Series)

テイラー級数で a=0 としたものがマクローリン級数です。

aの位置における種々の情報を利用して、任意の値をいくらでも計算するための魔法をテイラー級数が与えてくれます。

aの位置をゼロに選ぶのが有利な場合が少なくありません。

多くの関数で
a=0にするとf(0), f''(0), f"(0)・・・などは求めやすいのです。












微分学の発達があり、マクローリン展開によって関数の性質や値を調べることが可能になりました。

微分方法が分からなければ係数は求められません。

マクローリン展開を使う場合には xの範囲に注意しなければなりません。


階乗

10の階乗は、1x2x3x4x5x6x7x8x9x10=362,8800となり「10!」と書きます。

テイラー級数で
が大きい項は、非常に小さい値になります。 

特に
(x-a)が1より小さければ、nが増すにつれて分子も小さくなっていきます。

(x-a)が1より小さければ第3-4次近似ぐらいで実用上十分な精度で正しい値を推算できると考えられます

(x-a)n乗よりはn!のほうが、急激に大きくなる数です。

たとえば、
x-a=10としてみましょう。分子が10の1乗、102乗、103乗・・・・と進みます。

初めのころは、分母のほうが、
1x1、1x2、1x2x3、・・・・と進むので、分子のほうが大きくなります。

11項目を過ぎても分子のほうは相変わらす10倍ずつ増加しますが、分母のほうは急激に増加します。

すぐに分母が分子を追い越して項の値はどんどん小さくなって、完全に無視できるようになります。


n                                                  n!(階乗)
01=...................................................................1 (   1)
02=...................................................................2 (   2)
03=...................................................................6 (   3)
04=..................................................................24 (   4)
05=.................................................................120 (   5)
06=.................................................................720 (   6)
07=................................................................5040 (   7)
08=..............................................................4,0320 (   8)
09=.............................................................36,2880 (   9)
10=............................................................362,8800 (  10)
11=...........................................................3991,6800 (  11)
12=.........................................................4,7900,1600 (  12)
13=........................................................62,2702,0800 (  13)
14=.......................................................871,7829,1200 (  14)
15=....................................................1,3076,7436,8000 (  15)
16=...................................................20,9227,8988,8000 (  16)
17=..................................................355,6874,2809,6000 (  17)
18=.................................................6402,3737,0572,8000 (  18)
19=..............................................12,1645,1004,0883,2000 (  19)
20=.............................................243,2902,0081,7664,0000 (  20)
21=............................................5109,0942,1717,0944,0000 (  21)
22=.........................................11,2400,0727,7776,0768,0000 (  22)
23=........................................258,5201,6738,8849,7664,0000 (  23)
24=.......................................6204,4840,1733,2394,3936,0000 (  24)
25=....................................15,5112,1004,3330,9859,8400,0000 (  25)
26=...................................403,2914,6112,6605,6355,8400,0000 (  26)
27=................................1,0888,8694,5041,8352,1607,6800,0000 (  27)
28=...............................30,4888,3446,1171,3860,5015,0400,0000 (  28)
29=..............................884,1761,9937,3970,1954,5436,1600,0000 (  29)
30=...........................2,6525,2859,8121,9105,8636,3084,8000,0000 (  30)
31=..........................82,2283,8654,1779,2281,7725,5628,8000,0000 (  31)
32=........................2631,3083,6933,6935,3016,7218,0121,6000,0000 (  32)
33=......................8,6833,1761,8811,8864,9551,8194,4012,8000,0000 (  33)
34=....................295,2327,9903,9604,1408,4761,8609,6435,2000,0000 (  34)
35=.................1,0333,1479,6638,6144,9296,6665,1337,5232,0000,0000 (  35)
36=................37,1993,3267,8990,1217,4679,9944,8150,8352,0000,0000 (  36)
37=..............1376,3753,0912,2634,5046,3159,7958,1580,9024,0000,0000 (  37)
38=............5,2302,2617,4666,0111,1760,0072,2410,0074,2912,0000,0000 (  38)
39=..........203,9788,2081,1974,4335,8640,2817,3990,2897,3568,0000,0000 (  39)
40=.........8159,1528,3247,8977,3434,5611,2695,9611,5894,2720,0000,0000 (  40)




マクローリン展開(Maclaurin expansion)

マクローリン級数の式を使えば、小数点以下4〜5桁くらいまで正確に求めることは、筆算でもそんなに面倒なことではありません。

をマクローリン級数で表すことを、をマクローリン展開するといいます。



=1+1+1/2+1/6+1/24+1/120+1/720+1/5040+.................. = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 ….

0次近似 1.00000 (+0)

1次近似 2.00000 (+1)
 


2次近似 2.50000 (+0.5000)
 

3次近似 2.66667 (+0.16666)


4次近似 2.70833 (+0.01466)


5次近似 2.71667 (+0.00833)

6次近似 2.71806(+0.00138)

7
次近似 2.71824 (+0.00018)

8
次近似 2.71826 (+0.00002)

7次近似 までとると、小数点以下4桁までが、真の値と一致します。

マクローリン級数



xに虚数を入れてみたらどうなるか?

x の代わりに ixを代入する



cos のマクローリン展開)+ i (sinのマクローリン展開)

オイラー(Eular)の公式です。

実数の世界では、関係ないと思われていた三角関数と指数関数が、実は虚数の世界を通じてつながっていたのです。

オイラーの公式に x = π を代入したときに得られる最も美しい数式。



1) 円周率 π

2) 自然対数の底(ネイピア
(Napier)数といわれる無理数) e
 その定義は摩訶不思議である。
   
3) 虚数単位 i
 2乗すると -1 になる数。

4) 自然数の最小単位 1

5) 数学史上最大の発見 0

数学のエッセンス(5つの数)が結ばれている最高にエレガントで美しく調和している数式なのです。


グレゴリー・ライプニッツ級数




この級数はラィプニッツあるいはグレゴリー級
(Leibniz1646-1716,Gregory1638-1675)といわれます。

この2人より以前にインドの数学者マーダヴァ
(Madhava,1400年頃)により発見されています。

πと関連をもつ無限級数として最初に発見されたものは、
1671年に発見されたグレゴリー・ライプニッツ級数があげられます。

 π/4=tan-1

    =1/1−1/3+1/5−1/7+1/9−1/11+・・・

=Σ(−1)n-1 ・1/(2n+1)

ライプニッツはπ/4がすべての奇数の逆数を交互に加えたり引いたりしてえられる無限級数の和に一致するという事実に対して「神は奇数で楽しむ」と書いていて、この式に自然の神秘の深遠さを感じたそうです。

 tan-11=π/4を利用したこの展開公式は簡単な形の式ですが、ゆっくりとしか収束しないので、20項まで計算しても3.042までしか求まらないし、3.14まで一致するのに300項も必要です。

グレゴリー・ライプニッツ級数はπの近似値を求めるのには実用的ではありません.


マーチン級数

πを計算するための無限級数のうちでもっともポピュラーなものは、ニュートンと同時代のマーチンによって発見された次のような式です
(1706年)

 π/4=4arctan(1/5)−arctan(1/239)

=4(1/5−1/3・5^3+1/5・5^5−1/7・5^7+・・・)−(1/239−1/3・239^3+1/5・239^5−・・・)

第2項の級数は非常に収束が速く,第1項の級数も1/5^2=0.04ぐらいの比で次々に小さくなります。

数値計算に十分使えます.

マーチンの級数の計算誤差は
4/(2n+3)・(1/5)^2n+3ぐらいで,マーチン自身はこの公式のよってπの値を100桁ほど求めました.

計算機のない時代のことですから,当然手計算であって神業ともいうべき話です。


マーチンの級数は収束が極めて急速で、コンピュータの時代に移った後もたくさんの人に利用されました。

はじめてコンピュータを用いてπの値を計算したノイマンは、マーチンの公式を使って
70時間で2037桁まで正しい値を求めました(1949年)

1980年代にはいるとtan-1(x)の展開公式よりも格段に優れた新しい公式が発表されました。

東京大学の金田康正氏のグループは楕円積分の計算と関係した
ガウス・ルジャンドルの算術幾何平均法という強力な武器を用いて世界記録を樹立しました。

スーパーコンピュータでのπの果てしなき計算競争はまもなく
100億桁を突破しそうです。

円周率πの計算や巨大な素数の発見はコンピュータシステムの信頼性や処理速度といった性能をテストするのに最適なのです。







公 理 主 義・存 在 問 題
必 要 条 件・十 分 条 件


公理主義


近代数学の濫膓はあくまでギリシャであり、それほどにギリシャの数学は素晴らしいものです。

ギリシャの数学の素晴らしさは一言で言えば、それは公理主義ということです。

公理主義とは、雑然たる知識が単に並べられているのとは違い、たとえば、ユークリッドの幾何でいえば、五つの公理だけをまず仮定します。

言い換えれば、それ以外は何も知らなくてもよいのです。

あとの問題は、この公理からすべて導き出せるという、まことに素晴らしい構造になっているわけです。

しかもその導き出す手段は形式論理学(日常言語を用いず、三段論法・記号論理学など理論の形式的構造を研究する論理学)に限られています。

ユークリッド幾何学のすべての定理がたった
五つの公理で説明できるということです。

この点が古代ギリシャとその他の古代国家で発展した数学との
決定的な相違なのです。

もうひとつ大事なことは、使用される論理学が特定されているために、証明できたかできないかが一義的、客観的に、つまり誰の目にも明らかにわかるということです。

言い換えれば、証明されたようでもあり、されないようでもあるといった曖昧さは微塵もないという点です。

そこで、必然的に幾何学はすべての学問の理想と見なされることとなります。

プラトンもアカデマイヤー(プラトンがアテナイで開いた学校)の看板に"幾何学を学ばざる者、わが門に入るべからず"と書いていました。


以下、数学嫌いな人のための数学、数学を使わない数学の講義 小室直樹より

存在問題

数学の論理は、いわゆる常識の論理とひじょうに異なっている場合が多いのですが、実は、誰もが無意識のうちにそれを使ったり、あるいはそれが、人類の発展にものすごく大きな影響を与えたりしているのです。

「存在問題」はその典型です。

数学の論理がいかに常識と異なっているか、つまり「数学の論理」はいかに「常識」を超えた「超常識」的なものかという例を示してみます。

存在しないものについてはいかなる命題も成り立つというのが数学的論理の1つの特徴です。

存在しないものに関しては何を言っても正しいことになります。 

真っ赤な嘘も数学的には正解です。

前提が間違っていれば帰結は何を言っても正しい、ということを示しているのです

これをもっと徹底すれば、存在しないものに関しては何を言っても正しい、ということになるのです。

つまり、一見、数学の論理と常識の論理とは懸け離れているように思われがちですが、この条件文のように、われわれは日常の中でも、案外、数学の論理を駆使しているのです。

数学の基本命題についてよく理解する必要があります。

論理の問題としては、何事かを言う場合には、まずそれが存在するかどうかを確かめることが最初です。

数学の偉大な業績の1つですが、こうした問題のきっかけというのは、実は、ギリシャの昔からありました。

「ある与えられた角を定規とコンパスだけを用いて3等分しなさい」という、角の3等分問題もそうです。

この問題もやはり、ギリシャの数学者たちが必死になって作図しようとしたのだが、何百年たってもできませんでした。

しかし、正3角形の作図などはいたって簡単で、ギリシャの時代にすでにやっていたし、正方形、正5角形、正6角形…:、とずっといって正12角形ぐらいまでなら簡単に作図はできました。

しかし、正17角形の作図となると、これは大問題で、ずっと長い間、これができるとは誰も思わなかったのです。

代数についでは、1次方程式はごく簡単に解けるわけだし、2次方程式もバビロニアの数学ですでに解けており、それがローマに伝わって、アラビアの代数学でも解けていました。

しかし、その次の3次方程式となると、これは解けるまでにずいぶんと長い時間を要してしまいました。

ようやくルネッサンス時代に、イタリアの
カルダノ(1501〜76年)が初めて解いたのです。

そして、それに続いて間もなく4次方程式も
カルダノの弟子のフェラリによって解かれることになりました。

そこで、数学者の関心は当然、次の5次方程式へと向かったわけですが、これもずっと解けずに、何百年という時だけが空しく流れてしまいました。


数学が提起した「存在問題」の重要性

以上、代表的な数学上の難問を挙げてみましたが、これらの問題というのは、実は、非常に本質的な問題を含んでいるのです。

こうしたギリシャ的な問題が中世ゲルマン的世界に持ち込まれることによって、大変な数学的論争が巻き起こされることにもなりました。

これは、一言でいえば"存在間題"ということであり、ある問題が起きたとすれば、その問題の対象になっているものが本当に存在するのかどうかを、まず確認しなくてはいけないということなのです。

体積の二倍問題を存在間題として考えてみると、定規とコンパスだけをもってやったのでは、そうした作図法は存在しないのです。

これはギリシャの昔から約
2,000年もたってから、ようやく証明されたのです。

角の三等分問題についても同様です。

与えられた任意の角を、他のいかなる情報もなしに定規とコンパスだけで三等分する方法は存在しないのです。

このことは、
ドイツの天才数学者ガウス(1777〜1855年)によって証明されました。

このガウスは、正
17角形を初めて作図した人物です。

しかも、正
n角形のうちで、定規とコンパスだけで作図できるものとできないものとがあることを、きちんと証明した人物でもあります。

5次方程式については、ノルウェーの数学者アーベル(1802〜1855年)によって、一般的な5次方程式を解く代数的方法(つまり係数の加減乗除やルートを開くだけのやり方)は存在しないということが証明されました。

実生活とまるで無縁な問題を考え続ける数学者とは、実に奇妙な存在だ、と思う人が多いかもしれません。

しかし、このような証明が成されたということは、数学的にものすごく大きな貢献をしただけではないのです。

その他の自然科学において、さらに社会科学において、非常に意義深いことだったのです。

たとえば、神学についていえば・神学の最大の問題は、もちろん本当に神が存在するかどうか、という点にあります。

たしかに神が存在するとなれば、ものすごい議論をしても実りがあります。

しかし、もし神が存在しないとすれば、どんなに神学的な大議論を展開しても、およそ無意味です。

数学によって初めてクローズアップされた
「存在問題」の重要さは、十分おわかりいただけるはずです。

存在問題が、現代のわれわれの生活にとつてどういう意味があるのか、

例えば、宇宙開発のほうは月に行くための確かな条件が存在することは、すでにわかっていたのです。

人工衛星にしろ、宇宙船にしろ、それらはすべて物理学の領域です。

物理学というのは、あのリンゴのエピソードでおなじみのニュートンが考え出した「ニュートン力学」の第二法則と第三法則を公理のごとき前提として、数学と同様、それからすべてがきちんと導き出される学問です。

いい換えると、その第二・第三法則さえ仮定すれば、物理学の世界の森羅万象がすべて説明されるということです。

当然人工衛星や宇宙船についてもニュートン力学の範囲の中に含まれる問題です。

ニュートン力学というのはすべて微分方程式で表現され、その微分方程式さえ解けば、理論的には楽々と人工衛星や宇宙船を飛ばすことだってできることになります。

技術的な問題を別にすれば、いかにして微分方程式を解くかということです。

ところが、この微分方程式というのがなかなか複雑で、簡単に解けるものではないのです。

微分方程式を解くとは、積分を繰り返して、解(解答)をなんらかの既知の関数の形に表わすということです。

さらにそれを計算して数値を出そうとするのです。

この積み重ねで物理学は進歩してきたわけです。

しかし、微分方程式が複雑になってくると、とてもそんな初歩的な解法では解き得ないものが増えてくるのです。

人間が月へ行けたのは「存在問題」解決のおかげです。

基本となる公理は、ニュートンがすでに考えておいてくれたのだから、公理主義の考えで進めていけば、微分方程式を作ることはそれほどむずかしくはないのです。

だが、せっかく作った方程式が解けないのでは何にもならないではないのでしょうか。

こんなジレンマが、物理学者の間でしばらく続くのですが、
19世紀の終わりになって、ついに驚くべき発見が成されるのです。

発見者は
フランスの数学者コーシーという人物なのですが、彼は微分方程式に関して、解く方法を見つけることはひとまず別問題にし、とりあえず微分方程式に解があるかどうかを見抜く方法を見つけようとし、見事にそれに成功したのです。

言い換えれば、微分方程式における解の存在問題が解決されたのです。

つまり、学者が微分方程式をグッと睨めば、解は出せなくとも、解があるかどうかはわかるということになったのです。

ごく普通の常識では、解があるのがわかっていれば解けるだろうとか、解があるのがわかっていたって解けなくては意味がないじゃないか、ということにもなるのでしょうが、数学や物理の世界では、解があることがわかっただけでも大変なことです。

そこが、存在問題のおもしろいところでもあります。

これは、逆のケースを考えてみればすぐわかります。

もし解を持たない微分方程式だとすれば、解く努力自体がまったく意味を持たないのです。

そんな微分方程式に関わっていても時間の浪費にしかならないのです。

ところで、解があるのはわかったが、解の求め方はわからないという場合、ではどうするかといえば、あとはコンピューターにお任せという形でいいのです。

コンピューターのない昔なら、解があるのはわかっても解き方が見つからないのではそれまでです。

コンピューターが発達した現在では、コンピューターで、解に限りなく接近すればいいということになったのです。

科学者たちは、この微分方程式ならだいたいこれだけ計算すれば解にこれだけ接近できる、だから、これだけの予算があれば実現までに何年かかるか、ということの予測も十分つくのです。

ガウスは、n次方程式は、どんなものでも、複素数の範囲内で必ず根を持つということを証明しました。

そしてアーベルは、五次方程式は代数的方法では解き得ないことを証明しました。

これはどういうことかといえば、つまり解は間違いなくある、しかし、その方法では永遠に見つけることはできないという意味なのです。

現在の方法で不可能であれば別の方法を考えるにことになります。

宇宙船にたとえていえば、宇宙船を飛ばすための微分方程式に解はありますが、その解を積分で求めることはできません。

これはつまり、海峡はあるが・船では越えられない、というのと同じことで、だから船以外の方法でやらなくてはいけないということです。

宇宙船の場合、コンピューターで解に無限に接近することになるわけです。

方程式は必ず解を持つとは限らず、むしろ解を持たないほうが普通なのです。

また、解があっても、求める方法がないために、近似値しか求められない場合もあります。

古典的な物理学者で名を成した人は、解があって、しかも積分によって解くことができる微分方程式にたまたま出会う、という幸運に恵まれた人物なのです。



ガウスやガロアは、なぜ天才数学者といわれるか

n次の整方程式が、果たして解を持つのかどうかということも、ガウスが出て来るまでは、誰にも確信は持てなかったのです。

また、1次方程式の場合には、係数が自然数でも、解は分数にもなるわけで、自然数の範囲で解けるとは限りません。

2次方程式にしても係数が実数だからといって、実数の範囲で解けるとは限らないのです。

つまり、
n次方程式に、もし解があるとしても、それが複素数の範囲内にあるかどうかということもはっきりしなかったのです。

その解は複々素数か、複々々素数などというものかもしれないし、あるいはもっと複雑なものである可能性もあったわけで、まったく予想すらできなかったのです。

ところが、そこがガウスの天才中の天才たる所以なのです。

彼は、
100次であろうが1000次であろうが、100万次であろうが、とにかく任意のn次方程式は、複素数の範囲内で必ず解を持つということを証明したのです。

解があるということを証明するだけでも大変なことなのに、その解は複素数の範囲内だという特定までしたのです。

これは文字どおり
天地を揺るがすほどの大定理だと言って良いのです。

地理上の発見でいえば、大西洋から太平洋へ行くための海峡は必ずあるというだけではなく、その海峡はアメリカ大陸のどこにあるか、というところまで突き止めてくれたようなものなのです。

さらに数学史的に見ていくと、ガウスに次いで現われた天才が、ガロアというフランス人です。

彼はわずか
21歳という若さで、決闘によって生命を絶つという情熱的な生き方をした男でした。

このガロアは任意に与えられたn次方程式について、代数的に解けるための必要かつ十分条件を求めたのです。

簡単にいうと、このガロアの定理を使えば、どんなn次方程式でも代数的に解けるか解けないかが一目でわかるというものなのです。

これがどれほど価値のあることかは、もうおわかりのことでしょう。

経済学における「存在問題」とは何か

存在問題が明確になることで進歩した他の分野はといえば、まず理論経済学を挙げることができます。

理論経済学といえば、その始祖のワルラス(1834〜1910年)の名前を忘れるわけにはいきません。

理論経済学のシステムは連立方程式で表わせますよ、といって「一般均衡論」を著わしたのが、彼なのです。

そして、その連立方程式が解を持った場合に、理論経済学においてはシステムが決定されたとされます。

しかし存在問題的に言えば、連立方程式には必ず解があるとは限りません。

また、たとえ解はあるとしても、連立方程式のように、解が無限にたくさんあるということだってあり得るのだから、問題はその先にあることがわかります。

理論経済学において、解を求めるとは、価格を決めたり国民所得を求めたりすることだから、解が2つ以上、たくさんあっては困ってしまいます。

たとえば、価格が2通りあるなどといったら、それは価格としての用をなさないのです。

したがって、理論経済学においては、ただ単に解があるというだけではどうしようもない。

その解が一義的、絶対的でなくてはならないのです。

それからもうひとつ、解が一義的であるというだけではまだ不十分で、解が意味を持つということも必要となってきます。

たとえば、価格を求めようとして連立方程式を解いたところ、解が全部ゼロなどと出てしまったのでは、もう意味がありません。

これは、すべての商品が自由財 (経済活動の対象にならないもの、たとえば空気、海水、太陽光など)だということになってしまうから、資本制社会は成立し得ないことになります。

まして価格が虚数にでもなったら、さらにどうしようもありません。

繰り返せば、理論経済学における解は、経済学的に意味のあるものでなければ、文字どおり意味がないのです。

以上をまとめると、理論経済学における解の存在問題とは、解が存在し、しかも一義的で経済的に意味を持たなくては困るということになります。

この理論経済学における解の存在問題を言い出したのが、数学者や物理学者としても偉大な業績を残した
フォン・ノイマン(1903〜57年)でした。

彼は、ワルラスの「一般均衡論」も、解の存在問題を吟味しなくては意味がない、ということを経済学者に提起したのです。

これは1935年のことなのですが、当時の経済学者は数学を知らなかったために、そのノイマンの論文の意味がわかりませんでした。

そして、その意味の重大さがわかり、経済学者たちの間で蜂の巣を突いたような大騒ぎが起こったのは、ようやく1954年になって、アローという学者により、もう一度、間題提起されてからのことでした。

そして、半世紀たった今日でも、この解の存在問題は、理論経済学の一つの中心テーマになっているのです。

次に考えてみたいのは、経済現象において、存在条件を満たさない、言い換えれば、連立方程式が解を持たないとはどういうことでしょうか。

簡単にいえば、片方の方程式は満たすが、もう片方の方程式は満たさない。

つまり、こっちを満たそうと思えばあっちは満たさない、あっちを満たそうとすればこっちは満たさない、ということです。

要するに、両方を同時に満たす解がないということです。

解がない連立方程式は、両方の方程式を同時に満たす解がないということだけであって、一方を満たす解はいくらでもあるし、もう一方だけを満たす解もいくらでもあります。

これを経済現象に当てはめて言えば、こっちのマーケットを満たす価格はある、あっちのマーケットを満たす価格もある、ただし両方のマーケットを同時に満たすような価格はないということなのです。




必要条件と十分条件

必要条件とは何かといえば、パスポートをイメージしてみるとわかりやすいのです。

パスポートは、外国に入国するための必要条件なのです。

パスポートなしに、どこかの国に入国することはできません。

だが、パスポートだけで入国できるかといえば、これは不可能です。

パスポートは、入国のための十分条件ではないのです。

入国カードも一緒に持っていなくては門前払いをされてしまいます。

入国のための必要条件とは。

パスポートは必要条件。

入国カードも必要条件。

ビザも必要条件。

そして、予防注射の証明をしてくれるイエローカードも必要条件。

入国のための
十分条件とは何か。

ある国では、パスポートと入国カードだけで十分条件。

またある国では、それらにさらにビザをプラスして初めて十分条件となることもあります。

以上3つにイエローカードをプラスして、
4つ合わせで十分条件となる場合もあります。

必要条件は1つに限りません。

十分条件も1つに限りません。

たとえば、哺乳類について考えて見ましょう。

人間はすべて哺乳類ですから、「人間である」ということは、哺乳類であるための十分条件です。

犬はどうかといえば、犬だってやはり哺乳類であるための十分条件。

同様に、猫も熊もライオンも虎も、そして鯨だって十分条件です。

哺乳類であるということに関しては、十分条件がずいぶんたくさんあります。

哺乳類であるためには、人間でなければならないということはけっして言えません。

人間であることは、哺乳類であるための必要条件とは言えません。

同じく犬も猫も熊も、どれひとつとして必要条件ではありません。

哺乳類の必要条件としては、温血であること、胎生であること、肺呼吸をすること、さらに乳を飲んで育つことなどが挙げられます。

必要十分条件とは何か。

パスポートの例でいえば、パスポートは入国のための必要条件ですが十分条件ではありません。

人問であることも、哺乳類であることの十分条件ですが、必要条件ではありません。

このように、必要条件ではあるが十分条件ではない、十分条件ではあるが必要条件ではない、というケースのほうが普通は多いのです。

必要条件であると同時に十分条件でもあるというケースもあります。

これを
「必要十分条件」、または「同値」と呼ぶのです。

例えば、生物学的に男性であることは、男性器を持っているための必要条件であり、かつまた十分条件でもあるわけで、すなわち必要十分条件といえます。

そしてまた、男性器を持っていることも男性であるための必要十分条件となります。

したがって男性であることと、男性器を持っていることとは「同値」であるとされるわけです。

男性に関して今述べたことが成り立つのですから、女性についても当然同じことがいえます。

即ち、女性であることと、女性器があるということは必要かつ十分条件、言い換えれば、同値なのです。

必要十分条件というものは表現が違っても、論理的にたった1つしかありません。

ここで、純粋に数学的な命題で、必要条件、十分条件、必要十分条件の例を挙げてみると、こうなります。

自然数について考えてみます。

(Xが3で割り切れる)というのは(Xが6で割り切れる)ための必要条件です。

(Xが6で割り切れる)は、(Xが3で割り切れる)ための十分条件です。

そして(Xは奇数である)というのは(Xの二乗は奇数である)というための必要十分条件であって、この二つの命題は同値ということになります(ただし、同値で表現の違うものは多数ありうる)。

日常的な部分において、必要条件、十分条件、必要十分条件というものが理解できれば、数学の命題について理解するのは、そうむずかしいことではありません。

同値とは、二つのことがまったく論理的に同じことを意味しているというだけのことです。



社会科学の最重要概念

数学征服の鍵は、必要条件と十分条件の理解にあります。

必要条件(necessary condition)と十分条件(sufficient condition)は、数学に突入し突破するためこれほど肝要なことはないのです。

しかし、これを理解することは大変困難なことなのです。

犬は4本足である。という命題(proposition)があり、この命題は正しいとする。

「犬である」ことは、「4本足である」ことの十分条件である。

「4本足である」ことは、「犬である」ことの必要条件である。

正方形であれば長方形である。

正方形であることは、長方形であるための十分条件。

長方形であることは、正方形であるための必要条件。

公式的にいうと次のようになります。

いま、p,qを命題とする。p,qは正しいとする。

pならばqである(p→qと書く)とする。

このとき、pqであるための十分条件。

qpであるための必要条件。

必要条件の例

三角形であることは二等辺三角形の必要条件。

二等辺三角形であることは正三角形であるための必要条件。(注:四辺が等しい四角形は菱形か正方形である)

X>2であることはX>5であるための必要条件。

人間であることは日本人であることの必要条件。

十分条件の例

「x=1である」ことは「x二乗=1である」ための十分条件。

「象であること」は「4本足である」ための十分条件。

「菱形であること」は「平行四辺形である」ための十分条件。

「xが正である」ことは「xが負でないこと」の十分条件。

「日本人である」ことは「人間である」ための十分条件。

必要十分条件とは何か「同値」の定義

必要条件(necessary condition)であり、かつ十分条件(sufficient condition)と言う。

あるいは、必要かつ十分な条件とも言う。

例えば、二等辺三角形であることは、二等角三角形であるための必要(かつ)十分な条件である。

さらに進んで、こうも言える。

二等辺三角形は、二等角三角形であるための必要十分条件である。

角が直角であることは、四角形が長方形であるための必要十分条件である。

pならばqで、かつqならばpのとき、pqの必要十分条件という。このとき、qpの必要十分条件である。

qとが必要十分条件のとき、qとは論理的には、全く同じことである。

qとは、同値(equivalent)である、と言う。




必要条件と十分条件は、数学の論理を自由自在に駆使するには不可欠な要素であるのは勿論です。

社会科学にとっても最も重要な概念なのです。

これのみで数学の効用まさに知るべしと言えます。

必要条件の定義

Aが成り立てば、必ずBも成り立つとき、そのAに対するBのことを必要条件という。

すなわち、Bという命題が成り立たなければ、必ずAという命題も成り立たない。

長方形であること(B)は、正方形であること(A)の必要条件である。

哺乳類であること(B)は、猫であること(A)の必要条件である

十分条件の定義

Aという命題が成り立てば、それだけで必ずBという命題が成り立つとき、AはBの十分条件です。

AはBの集合の中に包含されるというイメージである。

正方形であること(A) は、長方形であること(B)の十分条件である。

猫であること(A)は、哺乳類であること(B)の十分条件である。

この二つの関係は

AがBに対して必要条件ならば、BはAに対して十分条件である。

AがBに対して十分条件ならば、BはAに対して必要条件である。




生き物たちのエレガントな数学 (知りたい!サイエンス 19)


『生き物たちのエレガントな数学』
出版社  技術評論社
[知りたいサイエンスシリーズ]
著者 上村文隆 定価
1580
目次
 1、ハチの巣はなぜ六角形か
 2、植物の葉の付き方
 3、まつぼっくりの研究
 4、植物の葉や枝が描く形の謎
 5、樹木の生長
 
6、ハマグリの数学
 7、貝の成長とマルサスの法則
 8、黄金率とフィボナッチ数列と等角らせんの秘密
 9、生き物の大きさと形の関係
10、地球環境と生態系を比例で読み解く
11、働きアリと怠けアリとパレートの法則



SYNCHRONATURE