フ ー リ エ 級 数
サイン波とコサイン波の合成



周期2πのほとんどの任意の関数は、三角関数の重ね合わせで表現可能








三角関数の極めて重要な性質は周期性・ 三角関数は全ての周期現象の根源

周期的な現象は全て三角関数で表現可能

微分でsincoscossinに変化


サイン・コサイン波



電気信号がサイン波とコサイン波を寄せ集めると、ほとんどどんな形の波形も合成可能。

フーリエ級数は、様々な科学の分野で重要な存在



直交性(積分値ゼロ)




クロネッカーのデルタ

が同じ場合は 1、 が違う場合は 0


関数の場合の直交性とは、かけあわせて積分するとゼロ

積分が1になる(正規)
このような関数のセットを正規直交系

直交性はフーリエ級数で大変役立つ性質

sin(奇関数) x cos(偶関数)奇関数を、からπまで積分するとゼロになる。

から0の積分と、0からπの積分は絶対値の大きさが同じで正負が逆)


サインとコサインは常に直交





三角関数の公式



べき乗の積分公式










 







積分をする前にsinxをかけると、大規模なキャンセルが引き起こされる。



方形波




奇関数なので0




積分の範囲を0の前後で分ける




方形波(直線・直角)がサイン波(曲線)の重ね合わせで表現可能とは驚くべきことです。


方形波の式(フーリエ級数)



方形波近似(三角関数の有限和)

(3周期分)

三角関数の有限和で近似される。

和の項数を増やして無限和にすると近似式が等式になる。





ライプニッツの級数

円周率の近似値を求めることができる。





ノコギリ形の波(周期2π)





ノコギリ波近似




ノコギリ波近似






バーゼル問題の解




周期2πの関数
























SYNCHRONATURE